Moving Average Spectral Estimation

12.1: Estimativa da Densidade Espectral Já discutimos o periodograma, uma função / gráfico que exibe informações sobre os componentes periódicos de uma série temporal. Qualquer série temporal pode ser expressa como uma soma de ondas de coseno e seno que oscilam nas frequências fundamentais (harmónicas) j / n. Com j 1, 2,, n / 2. O periodograma fornece informações sobre as forças relativas das várias freqüências para explicar a variação nas séries temporais. O periodograma é uma estimativa de amostra de uma função populacional denominada densidade espectral, que é uma caracterização do domínio da freqüência de uma série temporal estacionária da população. A densidade espectral é uma representação de domínio de freqüência de uma série de tempo que está diretamente relacionada à representação do domínio do tempo de autocovariância. Em essência, a densidade espectral ea função de autocovariância contêm a mesma informação, mas expressam-na de diferentes maneiras. Nota de revisão. A autocovariância é o numerador da autocorrelação. A autocorrelação é a autocovariância dividida pela variância. Suponha que (h) é a função de autocovariância de um processo estacionário e que f () é a densidade espectral para o mesmo processo. Na notação da sentença anterior, h tempo lag e freqüência. A autocovariância ea densidade espectral têm as seguintes relações: Na linguagem do cálculo avançado, a autocovariância ea densidade espectral são pares de transformada de Fourier. Nós não vamos nos preocupar com o cálculo da situação. Bem, focar na estimação da densidade espectral a caracterização do domínio da freqüência de uma série. As equações de transformada de Fourier são dadas aqui somente para estabelecer que há uma ligação direta entre a representação do domínio do tempo ea representação do domínio da freqüência de uma série. Matematicamente, a densidade espectral é definida para freqüências negativas e positivas. No entanto, devido à simetria da função e seu padrão de repetição para freqüências fora da faixa -1/2 a 1/2, só precisamos nos preocupar com freqüências entre 0 e 1/2. A densidade espectral total integrada é igual à variância da série. Assim, a densidade espectral dentro de um intervalo particular de frequências pode ser vista como a quantidade da variância explicada por essas frequências. Métodos para Estimativa da Densidade Espectral O periodograma bruto é uma estimativa aproximada da densidade espectral da população. A estimativa é áspera, em parte, porque nós usamos somente as freqüências harmônicas fundamentais discretas para o periodograma quando a densidade espectral é definida sobre um continuum das freqüências. Uma possível melhoria da estimativa do periodograma da densidade espectral é alisá-la usando médias móveis centradas. Uma suavização adicional pode ser criada usando métodos de afilamento que ponderam as extremidades (em tempo) da série menos do que o centro dos dados. Bem, não cobrir afunilamento nesta lição. Os interessados ​​podem ver a Seção 4.5 no livro e várias fontes da Internet. Uma abordagem alternativa para suavizar o periodograma é uma abordagem de estimação paramétrica baseada no fato de que qualquer série de tempo estacionária pode ser aproximada por um modelo de AR de alguma ordem (embora possa ser uma ordem alta). Nesta abordagem é encontrado um modelo de AR adequado e, em seguida, a densidade espectral é estimada como a densidade espectral para aquele modelo de AR estimado. Método de Alisamento (Estimação Não-paramétrica da Densidade Espectral) O método usual para suavizar um periodograma tem um nome tão extravagante que parece difícil. Na verdade, é apenas um centrado processo de média móvel com algumas modificações possíveis. Para uma série de tempo, o kernel de Daniell com parâmetro m é uma média móvel centrada que cria um valor suavizado no tempo t, fazendo a média de todos os valores entre os tempos t m e t m (inclusive). Por exemplo, a fórmula de suavização para um kernel Daniell com m 2 é In R, os coeficientes de ponderação para um kernel Daniell com m 2 podem ser gerados com o kernel de comando (daniell, 2). O resultado é coef-2 0,2 ​​coef-1 0,2 coef 0 0,2 coef 1 0,2 coef 2 0,2 ​​Os subscritos para coef referem-se à diferença de tempo a partir do centro da média no tempo t. Assim, a fórmula de suavização neste caso é a mesma que a fórmula dada acima. O kernel Daniell modificado é tal que os dois pontos finais na média recebem metade do peso que os pontos internos fazem. Para um kernel Daniell modificado com m 2, a suavização é In R, o kernel de comando (modified. daniell, 2) listará os coeficientes de ponderação usados. O kernel Daniell ou o kernel Daniell modificado pode ser enrolado (repetido) de modo que o alisamento seja aplicado novamente aos valores suavizados. Isto produz uma suavização mais extensa, calculando a média num intervalo de tempo mais largo. Por exemplo, para repetir um kernel Daniell com m 2 sobre os valores suavizados que resultaram de um kernel Daniell com m 2, a fórmula seria Esta é a média dos valores suavizados dentro de dois períodos de tempo t. Em qualquer direção. Em R, o kernel de comando (daniell, c (2,2)) fornecerá os coeficientes que seriam aplicados como pesos na média dos valores de dados originais para um kernel de Daniell com m 2 em ambas as suavizações. O resultado é gt kernel (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Isso gera o alisamento Fórmula A convolução do método modificado no qual os pontos finais têm menos peso também é possível. O kernel de comando (modified. daniell, c (2,2)) dá estes coeficientes: coef-4 0,01563 coef-3 0,06250 coef-2 0,12500 coef-1 0,18750 coef 0 0,21875 coef 1 0,18750 coef 2 0,12500 coef 3 0,06250 coef 4 0,01563 Assim, os valores centrais são ligeiramente mais pesados ​​do que no núcleo Daniell não modificado. Quando suavizamos um periodograma, estamos suavizando um intervalo de freqüência em vez de um intervalo de tempo. Lembre-se que o periodograma é determinado nas frequências fundamentais j j / n para j 1, 2,, n / 2. Seja I (j) o valor do periodograma na frequência j j / n. Quando usamos um kernel Daniell com parâmetro m para suavizar um periodograma, o valor suavizado (hat (omegaj)) é uma média ponderada de valores de periodograma para as freqüências na faixa (j-m) / n até (jm) / n. Existem valores de freqüência fundamental L 2 m 1 na faixa (j-m) / n para (jm) / n. A gama de valores utilizados para suavização. A largura de banda para o periodograma suavizado é definida como A largura de banda é uma medida da largura do intervalo de freqüência usado para alisar o periodograma. Quando pesos diferentes são usados ​​no alisamento, a definição de largura de banda é modificada. Denote o valor do periodograma alisado em j j / n como hat (omegaj) soma hk I esquerda (omegaj frac direito). Os hk são os pesos possivelmente desiguais utilizados no alisamento. A fórmula de largura de banda é então modificada para Realmente, esta fórmula funciona para pesos iguais também. A largura de banda deve ser suficiente para suavizar a nossa estimativa, mas se usamos uma largura de banda que é muito grande, bem suavizar o periodograma muito e perder ver picos importantes. Na prática, geralmente leva alguma experimentação para encontrar a largura de banda que dá um alisamento adequado. A largura de banda é predominantemente controlada pelo número de valores que são calculados com média na suavização. Em outras palavras, o parâmetro m para o kernel Daniell e se o kernel é enrolado (repetido) afeta a largura de banda. Nota: As relações de largura de banda R com suas plotagens não correspondem aos valores que seriam calculados usando as fórmulas acima. Por favor, veja a nota de rodapé na p. 197 do seu texto para uma explicação. A média / suavização do periodograma com um kernel Daniell pode ser realizada em R usando uma seqüência de dois comandos. O primeiro define um kernel Daniell eo segundo cria o periodograma suavizado. Como exemplo, suponha que a série observada chama-se x e queremos suavizar o periodograma usando um kernel de Daniell com m 4. Os comandos são k kernel (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) O primeiro comando cria os coeficientes de ponderação necessários para o alisamento e os armazena em um vetor chamado k. (Sua arbitrária para chamá-lo k. Pode ser chamado qualquer coisa.) O segundo comando pede uma estimativa de densidade espectral com base no periodograma para a série x. Usando os coeficientes de ponderação armazenados em k, sem conicidade, eo gráfico será em uma escala comum, não uma escala logarítmica. Se uma convolução é desejada, o comando kernel pode ser modificado para algo como k kernel (daniell, c (4,4)). Há duas maneiras possíveis de conseguir um kernel Daniell modificado. Você pode alterar o comando kernel para referir-se ao modified. daniell em vez de daniell ou pode ignorar usando o comando kernel e usar um parâmetro spans no comando spec. pgram. O parâmetro spans fornece o comprimento (2 m 1) do kernel Daniell modificado desejado. Por exemplo, um kernel Daniell modificado com m 4 tem comprimento L 2 m 1 9 assim que poderíamos usar o comando spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) Duas passagens de um kernel Daniell modificado com m 4 em cada passe Pode ser feito usando spec. pgram (x, spansc (9,9), conicidade 0, logno) Exemplo. Este exemplo utilizará a série de recrutamento de peixes utilizada em vários locais do texto, incluindo vários locais no capítulo 4. A série consiste em 453 valores mensais de uma medida de uma população de peixes num local do hemisfério sul. Os dados estão no arquivo recruit. dat. O periodograma bruto pode ser criado usando o comando (ou poderia ser criado usando o método dado na Lição 6). Spec. pgram (x, taper0, logno) Observe que no comando dado apenas omitimos o parâmetro que fornece pesos para suavização. O periodograma em bruto segue: O próximo gráfico é um periodograma suavizado usando um kernel Daniell com m 4. Observe que um efeito da suavização é que o pico dominante na versão não alisada é agora o segundo pico mais alto. Isso ocorreu porque o pico é tão acentuadamente definido na versão não alisada que quando a média é com alguns valores circundantes a altura é reduzida. O próximo gráfico é um periodograma suavizado usando duas passagens de um kernel Daniell com m 4 em cada passagem. Observe como ele é ainda mais suavizado do que anteriormente. Para saber onde os dois picos dominantes estão localizados, atribua um nome à saída spec. pgram e, em seguida, você pode listá-lo. Por exemplo, specvalues ​​spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues ​​Você pode passar através da saída para encontrar as freqüências nas quais os picos ocorrem. As freqüências e estimativas de densidade espectral são listadas separadamente, mas na mesma ordem. Identificar as densidades espectrais máximas e depois encontrar as frequências correspondentes. Aqui, o primeiro pico está na freqüência .0229. O período (número de meses) associado a este ciclo 1 / .0229 43,7 meses, ou cerca de 44 meses. O segundo pico ocorre com uma frequência de 0,083333. O período associado 1 / .08333 12 meses. O primeiro pico está associado a um efeito climático El Nino. O segundo é o habitual efeito sazonal de 12 meses. Estes dois comandos colocarão linhas pontilhadas verticais no gráfico de densidade espectral (estimado) nas localizações aproximadas das densidades de pico. Abline (v1 / 44, ltydotted) abline (v1 / 12, lty pontilhado) Heres a parcela resultante: Weve alisado o suficiente, mas para fins de demonstração, o próximo enredo é o resultado de spec. pgram (x, spansc (13,13) , Taper0, logno) Isto usa duas passagens de um kernel Daniell modificado com comprimento L 13 (assim m 6) cada vez. O enredo é um pouco mais suave, mas não por muito. Os picos, pelo caminho, estão exatamente nos mesmos lugares que na trama imediatamente acima. É definitivamente possível alisar demais. Suponhamos que devemos usar um kernel Daniell modificado de comprimento total 73 (m 36). O comando é spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) O resultado segue. Os picos se foram Estimativa Paramétrica da Densidade Espectral O método de suavização da estimativa da densidade espectral é chamado de método não paramétrico porque não usa qualquer modelo paramétrico para o processo da série cronológica subjacente. Um método alternativo é um método paramétrico que implica encontrar o melhor modelo de AR de encaixe para a série e depois traçar a densidade espectral desse modelo. Este método é suportado por um teorema que diz que a densidade espectral de qualquer processo de séries temporais pode ser aproximada pela densidade espectral de um modelo AR (de alguma ordem, possivelmente alta). Em R, a estimação paramétrica da densidade espectral é feita facilmente com o comando / função spec. ar. Um comando como spec. ar (x, logno) fará com que R faça todo o trabalho. Novamente, para identificar os picos, podemos atribuir um nome aos resultados spec. ar fazendo algo como specvaluesspec. ar (x, log no). Para o exemplo de recrutamento de peixes, o seguinte gráfico é o resultado. Observe que a densidade plotada é a de um modelo AR (13). Podemos certamente encontrar mais parcimonioso ARIMA modelos para esses dados. Estavam apenas usando a densidade espectral desse modelo para aproximar a densidade espectral da série observada. A aparência da densidade espectral estimada é aproximadamente a mesma que antes. O pico estimado de El Niño está localizado num local ligeiramente diferente, a frequência é de cerca de 0,024 para um ciclo de cerca de 1 / .024 cerca de 42 meses. Uma série deve ser de-tendência antes de uma análise espectral. Uma tendência causará uma densidade espectral tão dominante a uma baixa frequência que outros picos não serão vistos. Por padrão, o comando spec. pgram R executa um desvio usando um modelo de tendência linear. Isto é, a densidade espectral é estimada usando os resíduos de uma regressão feita onde os dados observados da variável y e a variável x t. Se um tipo diferente de tendência estiver presente, um quadrático por exemplo, então uma regressão polinomial poderia ser usada para de-tendência dos dados antes da densidade espectral estimada ser explorada. Note, no entanto, que o comando R spec. ar. No entanto, não realiza um desvio por padrão. Aplicação de Smoothers para dados brutos Observe que os smoothers descritos aqui também podem ser aplicados a dados brutos. O kernel Daniell e suas modificações são simplesmente alavancadores de média móvel (ou média móvel ponderada). NavegaçãoEstimação da densidade espectral Fonte: en. wikipedia. org/wiki/Spectraldensityestimation Atualizado: 2016-07-31T01: 02Z Para obter uma cobertura mais ampla relacionada a este tópico, consulte Densidade espectral. No processamento de sinais estatísticos. O objetivo da estimativa da densidade espectral (SDE) é estimar a densidade espectral (também conhecida como densidade espectral de potência) de um sinal aleatório de uma seqüência de amostras de tempo do sinal. Intuitivamente falando, a densidade espectral caracteriza o conteúdo de freqüência do sinal. Um propósito de estimar a densidade espectral é detectar qualquer periodicidade nos dados, observando-se picos nas freqüências correspondentes a essas periodicidades. SDE deve ser distinguido do campo de estimativa de freqüência. Que pressupõe que um sinal é composto por um número limitado (geralmente pequeno) de frequências geradoras mais ruído e procura encontrar a localização e a intensidade das frequências geradas. A SDE não faz nenhuma suposição sobre o número de componentes e busca estimar todo o espectro gerador. Sumário Visão geral Este artigo ou seção pode precisar ser limpo. Ele foi mesclado do domínio Frequency. Exemplo de forma de onda de voz e seu espectro de freqüência Uma onda triangular representada no domínio do tempo (topo) e no domínio da freqüência (parte inferior). A componente de freqüência fundamental está em 220 Hz (A2). Análise espectro. Também conhecido como análise de domínio de freqüência ou estimativa de densidade espectral, é o processo técnico de decomposição de um sinal complexo em partes mais simples. Como descrito acima, muitos processos físicos são melhor descritos como uma soma de muitos componentes de freqüência individuais. Qualquer processo que quantifica as várias quantidades (por exemplo, amplitudes, potências, intensidades ou fases), versus frequência pode ser chamado de análise de espectro. A análise do espectro pode ser realizada em todo o sinal. Alternativamente, um sinal pode ser dividido em segmentos curtos (às vezes chamados de quadros), e a análise de espectro pode ser aplicada a estes segmentos individuais. Funções periódicas (como) são particularmente adequadas para esta subdivisão. As técnicas matemáticas gerais para analisar funções não periódicas enquadram-se na categoria de análise de Fourier. A transformada de Fourier de uma função produz um espectro de frequências que contém todas as informações sobre o sinal original, mas de uma forma diferente. Isto significa que a função original pode ser completamente reconstruída (sintetizada) por uma transformada de Fourier inversa. Para a reconstrução perfeita, o analisador de espectro deve preservar a amplitude e a fase de cada componente de freqüência. Estas duas informações podem ser representadas como um vetor bidimensional, como um número complexo. Ou como magnitude (amplitude) e fase em coordenadas polares (isto é, como um fasor). Uma técnica comum no processamento de sinal é considerar a amplitude ao quadrado, ou potência neste caso o gráfico resultante é referido como um espectro de potência. Na prática, quase todos os softwares e dispositivos eletrônicos que geram espectros de freqüência aplicam uma transformada rápida de Fourier (FFT), que é uma aproximação matemática específica para a solução integral integral. Formalmente, a FFT é um método para calcular a transformada discreta de Fourier de um sinal amostrado. Devido à reversibilidade, a transformada de Fourier é chamada representação da função, em termos de freqüência em vez de tempo, portanto, é uma representação de domínio de freqüência. As operações lineares que podem ser realizadas no domínio do tempo têm contrapartidas que podem muitas vezes ser executadas mais facilmente no domínio da frequência. A análise de freqüência também simplifica a compreensão e interpretação dos efeitos de várias operações no domínio do tempo, tanto lineares quanto não-lineares. Por exemplo, apenas as operações não-lineares ou variantes de tempo podem criar novas frequências no espectro de frequência. A transformada de Fourier de uma forma de onda estocástica (aleatória) (ruído) também é aleatória. É necessário algum tipo de média para criar uma imagem clara do conteúdo de frequência subjacente (distribuição de frequência). Tipicamente, os dados são divididos em segmentos de tempo de uma duração escolhida, e são realizadas transformações em cada uma delas. Em seguida, a magnitude ou (geralmente) quadrado magnitude componentes das transformações são somados em uma média transformar. Esta é uma operação muito comum realizada em dados de domínio-tempo amostrados digitalmente, usando a transformada discreta de Fourier. Este tipo de processamento é chamado Welchs método. 1 Quando o resultado é plano, é comumente referido como ruído branco. No entanto, tais técnicas de processamento frequentemente revelam conteúdo espectral mesmo entre os dados que parecem ruidosos no domínio do tempo. Periodograma Apesar da simplicidade do periodograma, o método sofre de graves deficiências. É um estimador inconsistente. Isto é, não converge para a densidade espectral verdadeira como. 3 Ele exibe vazamento espectral muito alto, embora isso possa ser reduzido pela multiplicação por uma função de janela. Na presença de ruído aditivo, a estimativa tem um viés positivo. Técnicas Muitas técnicas diferentes para estimativa espectral foram desenvolvidas para superar os problemas do periodograma ingênuo. Estas técnicas podem geralmente ser divididas em métodos não paramétricos e paramétricos. As abordagens não-paramétricas estimam explicitamente a covariância ou o espectro do processo sem assumir que o processo possui uma estrutura particular. O periodograma em si é uma abordagem não-paramétrica, e é essencialmente equivalente à transformada de Fourier da autocovariância polarizada convoluída com um núcleo de Fejr. Alguns dos estimadores mais comuns em uso para aplicações básicas (por exemplo, método de Welchs) são estimadores não paramétricos estreitamente relacionados com o periodograma. Em contraste, as abordagens paramétricas assumem que o processo estocástico estacionário subjacente tem uma certa estrutura que pode ser descrita usando um pequeno número de parâmetros (por exemplo, usando um modelo auto-regressivo ou de média móvel). Nessas abordagens, a tarefa é estimar os parâmetros do modelo que descreve o processo estocástico. A seguir, uma lista parcial de técnicas de estimação da densidade espectral não paramétrica: Periodograma, o módulo básico do quadrado discreto do método de Bartletts de transformada de Fourier é a média dos periodogramas tomados de múltiplos segmentos do sinal para reduzir a variância da estimativa da densidade espectral Welchs Método multiplicativo é um método baseado em periodograma que usa múltiplas aberturas, ou janelas, para formar estimativas independentes da densidade espectral para reduzir a variância da estimativa da densidade espectral. Análise espectral de mínimos quadrados. Baseada em mínimos quadrados que se encaixam em frequências conhecidas A transformada de Fourier discreta não uniforme é utilizada quando as amostras de sinal são desigualmente espaçadas no tempo A análise de espectro singular é um método não paramétrico que utiliza uma decomposição de valor singular da matriz de covariância para estimar a densidade espectral Curto - Transformada de Fourier Abaixo está uma lista parcial de técnicas paramétricas: Estimação do modelo autorregressivo (AR), que pressupõe que a nª amostra está correlacionada com as p amostras anteriores. A estimativa do modelo de média móvel (MA), que pressupõe que a nª amostra está correlacionada com os termos de ruído nas p amostras anteriores. Estimativa de média móvel auto-regressiva (ARMA), que generaliza os modelos AR e MA. A estimativa máxima de entropia espectral é um método de todos os pólos útil para SDE quando características espectrales singulares, tais como picos afiados, são esperadas. Estimativa paramétrica Os estimadores de Yule-Walker são encontrados resolvendo recursivamente as equações de Yule-Walker para um processo. Os estimadores de Burg são encontrados tratando as equações de Yule-Walker como uma forma de problema de mínimos quadrados ordinários. Os estimadores de Burg são geralmente considerados superiores aos estimadores de Yule-Walker. 4: 452 Burg associou estes com estimativa espectral máxima de entropia. 5 Os estimadores de mínimos quadrados forward-backward tratam o processo como um problema de regressão e resolvem esse problema usando o método forward-backward. Eles são competitivos com os estimadores de Burg. Os estimadores de máxima verossimilhança assumem que o ruído branco é um processo gaussiano e estimam os parâmetros usando uma abordagem de máxima verossimilhança. Isso envolve uma otimização não-linear e é mais complexo do que os três primeiros. Métodos paramétricos alternativos incluem ajuste a um modelo de média móvel (MA) e a um modelo de média móvel autorregressiva completa (ARMA). Estimação de frequência A estimativa de frequência é o processo de estimar as componentes complexas de frequência de um sinal na presença de ruído, tendo em conta pressupostos sobre o número de componentes. Isto contrasta com os métodos gerais acima, que não fazem suposições prévias sobre os componentes. Número finito de tons. Os métodos mais comuns para a estimativa de freqüência envolvem a identificação do subespaço de ruído para extrair esses componentes. Estes métodos são baseados na decomposição própria da matriz de autocorrelação em um subespaço de sinal e um subespaço de ruído. Depois destes subespaços serem identificados, é utilizada uma função de estimação de frequência para encontrar as frequências componentes a partir do subespaço de ruído. Os métodos mais populares de subespaço de ruído baseado em estimativa de frequência são o método de Pisarenkos. O método de classificação de sinais múltiplos (MUSIC), o método de autovetores eo método de normas mínimas. Tom único Se um só quer estimar a única freqüência mais alta, pode-se usar um algoritmo de detecção de passo. Se a frequência dominante muda ao longo do tempo, então o problema torna-se a estimativa da frequência instantânea, tal como definida na representação da frequência do tempo. Os métodos para estimação de freqüência instantânea incluem aqueles baseados na distribuição de Wigner-Ville e funções de ambiguidade de ordem superior. 7 Se se quer conhecer todas as componentes de frequência (possivelmente complexas) de um sinal recebido (incluindo sinal transmitido e ruído), utiliza-se uma transformada discreta de Fourier ou alguma outra transformação relacionada com Fourier. Exemplo de cálculo A variância de é, para uma função de média zero como acima, dada por. Se esses dados fossem amostras retiradas de um sinal elétrico, essa seria sua potência média (energia é a energia por unidade de tempo, então é análoga à variância se a energia é análoga à amplitude ao quadrado). Agora, por simplicidade, suponha que o sinal se estende infinitamente no tempo, então passamos ao limite como. Se a potência média é limitada, o que é quase sempre o caso na realidade, então o limite a seguir existe e é a variância dos dados. Mais uma vez, por simplicidade, passaremos ao tempo contínuo e assumiremos que o sinal se estende infinitamente no tempo em ambas as direções. Então estas duas fórmulas tornam-se O espectro de potência deste exemplo não é contínuo e, portanto, não tem uma derivada, e, portanto, este sinal não tem uma função de densidade espectral de potência. Em geral, o espectro de potência será normalmente a soma de duas partes: um espectro de linha tal como neste exemplo, que não é contínuo e não tem uma função de densidade, e um resíduo, que é absolutamente contínuo e tem uma função de densidade . Veja também Referências Welch, P. D. (1967), O uso da Transformada de Fourier Rápida para a estimação de espectros de potência: Um método baseado na média do tempo sobre periodogramas curtos e modificados, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. Sobre a investigação de periodicidades ocultas com aplicação a um suposto período de 26 dias de fenômenos meteorológicos, o Magnetismo Terrestre. (AU) (AU) LILACS 2 3, 13-41, 1898. Monson H. Hayes (1996). Processamento Estatístico de Sinal Digital e Modelagem. John Wiley amp Sons, Inc. p.160405. ISBN 1600-471 59431-8. 160 a b c d Donald B. Percival e Andrew T. Walden (1992). Análise Espectral para Aplicações Físicas. Cambridge University Press. ISBN 1609780521435413. 160 Burg, J. P. 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Os autores investigaram o desempenho do algoritmo iterativo de Steiglitz-McBride (SM) em um modelo de média móvel autorregressiva (ARMA) de sinais de uma rápida, escassamente amostrada, multieco, aquisição de imagem por desvio químico (CSI) usando simulação, fantasma, ex vivo, E experiências in vivo com um foco em seu uso potencial em intervenções orientadas por ressonância magnética (RM). O modelo de sinal ARMA facilitou um cálculo rápido do deslocamento químico, tempo de relaxação aparente spin-spin (T2) e amplitudes complexas de um sistema multipico a partir de um número limitado de ecos (lt ou igual a 16). Simulações numéricas de sistemas de um e dois picos foram utilizadas para avaliar a precisão e incerteza nos parâmetros espectrais calculados como uma função da aquisição e dos parâmetros teciduais. As incertezas medidas da simulação foram comparadas ao limite inferior Cramer-Rao (CRLB) teórico para a aquisição. As medições feitas em fantasmas foram utilizadas para validar as estimativas de T2 e para validar estimativas de incerteza feitas a partir do CRLB. Demonstrou-se a aplicação em tempo real de intervenções guiadas por RM ex vivo utilizando a técnica para monitorizar uma injecção percutânea de etanol num fígado bovino e in vivo para monitorizar um tratamento térmico induzido por laser num cérebro canino. Os resultados da simulação mostraram que as incertezas de desvio químico e de amplitude atingiram seu respectivo CRLB em uma relação sinal / ruído (SNR) gt ou 5 para comprimentos de echo (ETLs) gt ou 4 usando um espaçamento de eco fixo de 3,3 ms. As estimativas de T2 do modelo de sinal possuíam maiores incertezas, mas atingiram o CRLB em SNRs maiores e / ou ETLs. Foram obtidas estimativas muito precisas para o desvio químico (lt0.01 ppm) e amplitude (lt1.0) com gt ou 4 ecos e para T2 (lt1.0) com gt ou 7 ecos. Concluímos que, em um intervalo razoável de SNR, o algoritmo SM é um estimador robusto de parâmetros espectrais de aquisições rápidas de CSI que adquire lt ou 16 ecos para sistemas de um e dois picos. Experimentos preliminares ex vivo e in vivo corroboraram os resultados de experimentos de simulação e indicam ainda o potencial desta técnica para procedimentos intervencionistas guiados por RM com alta resolução espaciotemporal aproximadamente 1,6 x 1,6 x 4 mm3 em lt ou 5 s. Modelagem média móvel auto-regressiva para estimação de parâmetros espectrais a partir de uma aquisição de mudança química de eco de multigradação. Citações de texto completo BioEntities Artigos relacionados Ligações externas Med Phys. 2009 03 de março de 2006 (3): 753764. Publicado em linha 2009 fevereiro 12. doi: 10.1118 / 1.3075819 Modelagem média móvel autorregressiva para a estimação espectral do parâmetro de uma avaliação multigrada do deslocamento químico do eco Departamento de Física Imaging, Universidade do Texas MD Anderson Cancer Center, Houston , Texas 77030 e Universidade de Texas Graduate School de Ciências Biomédicas, Houston, Texas 77030 Departamento de Imaging Física, a Universidade do Texas MD Anderson Cancer Center, Houston, Texas 77030 e Laboratório de Ciências Aplicadas, GE Healthcare, Waukesha, Wisconsin 51388 Os autores investigaram o desempenho do algoritmo iterativo Steiglitzx02013McBride (SM) em um modelo de média móvel autorregressiva (ARMA) de sinais de uma rápida, escassamente amostrada, multiecho, transferência de imagem por desvio químico (CSI) usando simulação, fantasma, ex vivo. E experiências in vivo com um foco em seu uso potencial em intervenções orientadas por ressonância magnética (RM). O modelo de sinal ARMA facilitou um cálculo rápido do deslocamento químico, tempo aparente de relaxação spin-spin (T 2). E amplitudes complexas de um sistema multipico a partir de um número limitado de ecos (x0226416). Simulações numéricas de sistemas de um e dois picos foram utilizadas para avaliar a precisão e incerteza nos parâmetros espectrais calculados como uma função da aquisição e dos parâmetros teciduais. As incertezas medidas da simulação foram comparadas com o limite inferior Cramerx02013Rao inferior (CRLB) para a aquisição. As medições feitas em fantasmas foram usadas para validar as estimativas de T 2 e para validar estimativas de incerteza feitas a partir do CRLB. We demonstrated application to real-time MR-guided interventions ex vivo by using the technique to monitor a percutaneous ethanol injection into a bovine liver and in vivo to monitor a laser-induced thermal therapy treatment in a canine brain. Simulation results showed that the chemical shift and amplitude uncertainties reached their respective CRLB at a signal-to-noise ratio (SNR)x022655 for echo train lengths (ETLs)x022654 using a fixed echo spacing of 3.3 ms. T 2 estimates from the signal model possessed higher uncertainties but reached the CRLB at larger SNRs and/or ETLs. Highly accurate estimates for the chemical shift (x0003c0.01 ppm) and amplitude (x0003c1.0) were obtained with x022654 echoes and for T 2 (x0003c1.0) with x022657 echoes. We conclude that, over a reasonable range of SNR, the SM algorithm is a robust estimator of spectral parameters from fast CSI acquisitions that acquire x0226416 echoes for one - and two-peak systems. Preliminary ex vivo and in vivo experiments corroborated the results from simulation experiments and further indicate the potential of this technique for MR-guided interventional procedures with high spatiotemporal resolution 1.6x000d71.6x000d74 mm 3 in x022645 s. Keywords: Multigradient echo acquisition, chemical shift imaging (CSI), autoregressive moving average (ARMA), MR-guided interventions INTRODUCTION Many fast chemical shift imaging (CSI) acquisitions use echo-planar 1. 2 or spiral techniques 3 to sample 32x02013128 echoes and the spectra from these acquisitions are analyzed by means of filtered or unfiltered fast Fourier transformation (FFT). 4. 5 For simple two-peak systems, such as fat and water, spatiotemporal resolution can be improved by decreasing the number of echoes to 2 (Refs. 6. 7 ) or 3, 8. 9 which typically incorporates assumptions about certain parameters, such as the chemical shift and the apparent spin-spin relaxation time ( T 2 ). to measure a specific spectral parameter, such as amplitude. Two-dimensional (2D) multiple fast gradient-recalled echo (MFGRE) acquisitions that rapidly collect a limited number of echoes (2-32) are now standard on many magnetic resonance (MR) platforms because they are useful for T 2 mapping, 10 chemical shift encoding for fat-water separation, 11 and fast cardiac applications. 12 With the limited sampling window provided by so few echoes, applying the FFT to these echoes for fast spectral analysis becomes suboptimal owing to the extensive filtering required to control truncation artifacts and the subsequent trade-off in spectral resolution. 13 Various time-domain analysis techniques have been investigated as alternatives or complements to the FFT technique for quantitative determination of the chemical shift, relaxation time, and amplitude of each MR-detectable chemical specimen with a focus on maintaining the standard high spectral resolution CSI (Ref. 14 ) at low spatiotemporal resolutions. The autoregressive moving average (ARMA) approach models the MR signal as a sum of damped complex exponentials in noise. This is a suitable model of the observed free induction decay because it allows spectral characterization without truncation artifacts or extensive prefiltering of the data. 15. 16 Our recent feasibility study applied an ARMA model to a MFGRE acquisition for a CSI-based temperature estimation technique that relied on the temperature sensitive proton resonance frequency (PRF) shift. 17 This work described here extends that research to investigate the use of the iterative Steiglitzx02013McBride (SM) algorithm to provide precise estimates of multiple spectral parameters in the presence of noise. We describe the generalized approach for a multipeak system and compare the algorithmx02019s precision to the Cramerx02013Rao lower bound (CRLB) 18. 19. 20 for simulated one - and two-peak systems, assuming tissue parameters similar to those for water and fat. Last, we present potential applications and advantages of this fast CSI technique for real-time MR-guided interventional procedures. BACKGROUND Autoregressive moving average model of the signal and spectral parameter determination If a discrete set of signals from a gradient echo train is collected, then the MR signal, y ( t ), can be modeled in the time domain discretely as a sum of damped complex exponentials, that is, y ( t ) x02211 k 1 N ( x ( t ) w ( t ) ) x02211 k 1 N ( x02211 t TE 0 TE 0 ( n x02212 1 ) x022c5 ESP C k e x02212 ( 2 x003c0 i f k 1 x02215 T 2 k x02217 ) t w ( t ) ). where N is the number of MR-detectable chemical species (water, fat, etc.), TE 0 is the minimum echo time, n is the echo train length (ETL), ESP is the spacing between echoes, C . f . and T 2 are the complex amplitude, chemical shift, and apparent spin-spin relaxation time of each chemical specimen, respectively, w ( t ) is white noise with zero mean, t is time, and k is the chemical specimen. Generally, an ARMA model describes how an observation, such as y ( t ), can be generated as a filtered input signal with white noise. 21 Note that x ( t ) can be written as x ( t ) x02211 m 1 N x003b1 ( m ) x ( t x02212 m ). where x003b1(0)1 and x003b1( m ) is in the form x003b1 ( m ) e x02212 ( 2 x003c0 i f m 1 x02215 T 2 m x02217 ). This essentially means that the frequency and T 2 information of a noiseless signal are in the x003b1( m ) coefficients. This is a representative of an autoregressive process. However, the measured signal contains noise, w ( t ). Therefore, to measure the signal x ( t ), y ( t ) x02212 w ( t ) 1 x02211 m 1 N x003b1 ( m ) y ( t x02212 m ) x02212 x02211 m 0 N x02212 1 x003b2 ( m ) w ( t x02212 m ). where x003b2( m ) are also complex-valued coefficients. This is a general form of an autoregressive moving average process. Using the z - transform defined as z x02212 1 x ( t ) x ( t x02212 1 ). Eq. 4 can be written as H ( z ) B ( z ) A ( z ) x02211 k 0 N x02212 1 x003b2 k z x02212 k 1 x02211 k 1 N x003b1 k z x02212 k. In this work, we used the iterative SM algorithm 22 initialized with the results of Pronyx02019s method 23 to calculate x003b1 and x003b2 in MATLAB (MathWorks, Inc. Natick, MA). Details on these algorithms are described by Jackson. 24 Once x003b1 and x003b2 are known, the poles can be calculated which are the roots of the denominator in Eq. 6. If x003c1 k denotes the pole for chemical specimen k . then the chemical shift of that specimen can be expressed as f k x02212 Im ln ( x003c1 k ) 2 x003c0 x022c5 ESP x022c5 x003b3 B 0. where ESP is the echo spacing, x003b3 is the gyromagnetic ratio, and B 0 is the static magnetic field. In addition, T 2 can be expressed as T 2. k x02217 x02212 ESP Re ln ( x003c1 k ) . Finally, the complex amplitudes of water and fat can be computed separately using the Cauchy residue theorem, 25. 26 where C k B ( x003c1 k ) A x02032 ( x003c1 k ) A x02032 ( z x02212 1 ) d A ( z x02212 1 ) d z x02212 1 METHODS AND MATERIALS Simulation and the Cramerx02013Rao lower bound The spectral modeling algorithm was tested on simulated signals for one - and two-peak systems. In the one-peak system, acquisition parameters included spin lattice relaxation time ( T 1 ), which was set at 500 ms, and T 2 60 ms. The TR was fixed at 70 ms to maintain consistent temporal resolution. The minimum TE was set to 2 ms, with an echo spacing of 3.3 ms. The two-peak system added a fat signal that had 25 of the amplitude of the water peak. For the fat peak, T 1 300 ms and T 2 30 ms. A flip angle of 37x000b0 (the Ernst angle for fat signal 27 ) was used. All other parameters were the same as those in the one-peak system. To simulate noise in both systems, Gaussian noise was added to real and imaginary channels of the complex time-domain signal. The signal-to-noise ratio (SNR) was defined as the amplitude of each spectral component divided by the standard deviation of the magnitude noise. To obtain the measurement uncertainty, we performed 20 000 random trials at each SNR value. The number of trials was determined by the number of measurements needed to obtain the uncertainty measurement at the lowest SNR5. Accuracies and uncertainties of the spectral parameters (chemical shift, T 2 . and complex amplitude) were calculated using the SM algorithm for an ETL of up to 16 echoes to determine, as a function of SNR, how the number of acquired echoes at a fixed ESP affected the accuracy and precision of the measured spectral parameters. The CRLB was used to provide a comparative theoretical basis of the uncertainty independent of the spectral processing technique. The CRLB is defined as the minimum achievable variance for an estimator. 19. 20 The CRLB for this model (the sum of complex damped exponentials) has been analytically defined in the one-peak system and can be numerically determined for a multipeak system, as described by Kumaresan and Tufts. 18 For example, if a MR signal with only one peak is present, the minimum uncertainty in the chemical shift given by the CRLB can be defined as x003c3 f. CRLB x02248 1 2 x003c0 x022c5 SNR A p 0 p 0 p 2 x02212 p 1 2. p j x02211 k 0 N x02212 1 ( ESP x022c5 k ) j e x02212 2 x022c5 E S P x022c5 k x02215 T 2 x02217 and SNR A is the SNR of the first echo. The uncertainties of the amplitudes, chemical shifts, and T 2 values using the SM algorithm were compared to the CRLBs to ascertain the precision of the algorithm in the presence of noise. Correlation coefficients between simulation values and the CRLBs were calculated for each parameter in both the one - and two-peak systems. The effects of ESP and T 2 were simulated in the one-peak system with ETL16. The uncertainty values for the chemical shift, T 2 . and amplitude from 20 000 measurements were determined as a function of ESP and T 2 and represented on surface maps. We also performed simulations to measure the sensitivity of detecting secondary peaks in noise. In these simulations, the signal parameters were the same as those in two-peak system with an ETL16, but the amplitude of water was changed to correspond to SNR for water of 10x0201350. Measurements of sensitivity were made at different secondary peak SNR levels to determine at which SNR the secondary signal could be detected. This enabled the effects from water SNR, fat SNR, and fat/water ratios to be analyzed. Multiple, fast gradient-recalled echo (MFGRE) Imaging A 2D MFGRE acquisition was modified to provide multiple echoes for each TR using unipolar readout gradient pulses, with time-optimized rewinding gradient pulses on a 1.5 T clinical MR scanner (Excite HD, GE Healthcare Technologies, Waukesha, WI). Each echo of the MFGRE sequence provided one phase-encoded readout line in k - space per TR with a specific TE. Parallel acquisition and processing techniques 28 were used to lower the acquisition time, allowing a more liberal selection of TR values for contrast and to facilitate interleaved slice acquisitions (acceleration factor2). The ESP was increased to accommodate longer readout times (lower bandwidths) for increased SNR at the cost of a smaller spectral bandwidth. This resulted in aliasing of peaks outside the window, such as fat. However, the ESP was always carefully selected so that primary peaks, such as fat and water, did not overlap. 17 Phantom imaging To test the performance of the SM algorithm on real CSI data from a MFGRE acquisition, measurements were made in water and fat-water phantoms and compared with the expected values of the chemical shift and T 2 . For the water phantom, an agarose gel (3 w/v) was created using distilled, de-ionized water to minimize variation in the metal ion content of the water, which can lower relaxation times. To create the fat-water phantom, a mixture of 50 mayonnaise and 50 lemon juice (by volume) 17. 29 was set in an agarose gel (3 w/v). Both phantoms were scanned with the same acquisitions parameters (16 echoes, TR/TE 0 70 ms/1.9 ms, ESP3.3 ms, flip angle30x000b0, receiver bandwidth279 Hz/pixel, acquisition matrix128x000d7128, acceleration factor2, voxel size1.6x000d71.6x000d75.0 mm 3. and acquisition time4.5 s/image). The MR signal was detected using an eight-channel high resolution brain array (MRI Devices, Waukesha, WI). For the water phantom, the T 2 measurements calculated by the SM algorithm were compared with a spoiled-gradient echo (SPGR) acquisition with exponential fitting of the signal at different TE values. A studentx02019s t-test assuming equal variances (as determined through an F-test) was performed to test for statistical differences between the T 2 values from the MFGRE and SPGR acquisitions. Uncertainties in the chemical shift, T 2 . and amplitude were measured over ten acquisitions and compared with the CRLB. These comparisons were also made for the fat-water phantom and, again, uncertainties in the water and fat chemical shifts, T 2 . and amplitude values for water and fat were calculated over ten consecutive acquisitions and compared with the CRLB. Spatial variations in the differences in chemical shift between water and fat were measured across the phantom. We also compared the T 2 values for water between the MFGRE acquisition and a SPGR acquisition with fat suppression. Imaging of ethanol injection into ex vivo liver tissue To demonstrate the power of the technique for providing unique information for MR-guided interventions such as chemical ablations, we used the MFGRE acquisition (16 echoes, TR/TE 0 70 ms/2.1 ms, ESP3.3 ms, flip angle60x000b0, receiver bandwidth244 Hz/pixel, acquisition matrix128x000d7128, acceleration factor2, voxel size1.6x000d71.6x000d74.0 mm 3. and acquisition time4.5 s/image) and SM algorithm to monitor the injection of 2 ml ethanol in an ex vivo bovine liver sample. Ethanol is a chemical agent used in interventions because it induces coagulation necrosis of tissue by cellular dehydration, protein denaturation, and small vessel thrombosis. 30 The location and the relative concentration of the ethanol were determined by locating the methyl (CH 3 ) peak versus the water peak. Changes in the chemical shift, T 2 . and amplitude of both the water peak and the ethanol-methyl peak were measured over time in a region of interest (ROI). Monitoring of thermal therapy in canine brain in vivo We previously reported on the technique for monitoring thermal therapy using phantoms and small animals in viv o. 17 Here, we examined the usefulness of the multiparametric nature of the technique for guiding MR thermal therapy interventions in a large animal model by using the MFGRE acquisition to guide the application of laser-induced thermal therapy in a canine brain in vivo using a 1.5 T scanner. The animal used in this experiment was handled in accordance with the Institutional Animal Care and Use Committee. A water-cooled applicator containing a laser fiber (Biotex Inc. Houston, TX) with a 1 cm diffusing tip (808 nm) was inserted into the right hemisphere of the canine brain using MR guidance. Treatment was delivered using an exposure of 3.5 W/cm 2 for 180 s under continuous MFGRE monitoring (16 echoes, TR/TE 0 69 ms/2.1 ms, flip angle30x000b0, receiver bandwidth244 Hz/pixel, acquisition matrix128x000d7128, acceleration factor2, voxel size1.6x000d71.6x000d74.0 mm 3. and acquisition time4.4 s/image). The ESP was 3.3 ms, giving a spectral bandwidth of 303 Hz. Using the frequency map from the SM algorithm, the shift in the PRF was measured to detect temperature changes 31 using a temperature sensitivity of x022120.0098 ppm/x000b0C. 32 In addition, T 2 maps and T 2 - corrected T 1 - W images (signal extrapolated to TE0 ms) were created from the data and analyzed to demonstrate the potential usefulness. RESULTS Simulation and the Cramerx02013Rao lower bound Performance of the SM algorithm on simulated data demonstrated a high correlation between the uncertainties in chemical shift and amplitude and the CRLB values for SNRx022655 and ETLx022654. When uncertainties approached the CRLB, the algorithm performed near optimum at the theoretical lower bound of the uncertainty for the given model. Figure x200B Figure1 1 displays the uncertainties in the signal-peak model using the SM algorithm for the chemical shift, T 2 . and amplitude estimates as a function of SNR for ETL of 4x0201316 echoes. Solid lines represent the CRLBs for each simulation. The uncertainty of the estimates decreased as the SNR and the number of echoes increased. T 2 measurements generally showed lower correlation (slightly higher uncertainty than the CRLBs), primarily at lower SNR values, than other spectral parameters. This effect was expectedly exacerbated when using truncated ETLs (x0003c8) which have a reduced TE max . For example, the uncertainty of the measured T 2 from simulations began to exceed the CRLBs at SNRx0003c10 for ETL8 and SNRx0003c30 for ETL4 (Fig. x200B (Fig.1). 1 ). Table x200B Table1 1 shows the correlation coefficients between the simulated data and the CRLBs. In agreement with Fig. x200B Fig.1, 1. the chemical shift and amplitude showed very high correlation coefficients (Pearsonx02019s R 2 x0003e0.9990), with the correlation of the T 2 measurements between simulation and the CRLBs decreasing as the number of echoes decreased. Correlation coefficients between simulation and the CRLB in a water-only signal over multiple echo-train lengths. The uncertainties in chemical shift and amplitude have a very high correlation with the CRLB, as does the uncertainty in T 2 at ETL16. However, . Simulation and CRLB results for 4 (crosses), 8 (squares), 12 (triangles), and 16 (circles) echoes. This simulation used 20 000 trials. Estimates for chemical shift achieved an uncertainty at the CRLB for SNRx022655 for each ETL (4x0201316 echoes) . The measured uncertainty of the chemical shift and T 2 estimates demonstrated an inverse proportionality to the ETL, as expected from the derivation of the CRLBs. 18 For SNR20, the dependence of the chemical shift and T 2 on the number of echoes had a relationship of N x022121.01 (Pearsonx02019s R 2 0.990) and N x022121.02 (Pearsonx02019s R 2 0.980), respectfully, where N is the number of echoes. The amplitude estimates exhibited less dependence on the number of echoes with a N x022120.22 relationship (Pearsonx02019s R 2 0.982). Simulations also showed agreement between the spectral parameter uncertainties and the CRLBs in the two-peak model representing water and fat. Figure x200B Figure2 2 is a plot of the uncertainties and the corresponding CRLBs for a simulated two-peak model of water and fat for ETL16. Corresponding correlation coefficients are shown in Table x200B Table2. 2. Uncertainties in the chemical shifts of both water and fat signals approached the CRLBs and maintained high correlation coefficients. As observed in the one-peak simulation of water, T 2 values diverged more from the CRLBs than did other spectral parameters. Uncertainties in the fat chemical shift and T 2 values were demonstrably higher even for the same SNR. Uncertainty in the amplitudes showed little difference between water and fat. This result was consistent in a range of water and fat concentrations. Further, as seen in the one-peak model, the uncertainty of each peakx02019s spectral parameters increased as the number of echoes decreased. Correlation coefficients between simulation and the CRLB in a fat-water signal over multiple echo-train lengths. As with the one-peak (water only) signal, the uncertainties in chemical shift and amplitude have a high correlation with the CRLB for both . Simulation and CRLB results for a two-peak signal of water and fat with ETL16. This simulation used 20 000 trials. Estimates for the chemical shift of both water and fat achieved an uncertainty at the CRLB (a). The uncertainties in T 2 for both peaks . Surface maps illustrated the impact of T 2 and ESP on the one-peak model with ETL16 (Fig. x200B (Fig.3). 3 ). Generally, the uncertainties were lower as T 2 increased and the ESP decreased. Areas below the black line in Figs. x200B Figs.3a, 3a. x200B ,3b, 3b. x200B ,3c 3c indicate areas where the TE of the last echo (TE max ) was larger than the simulated T 2 . As expected, if collected echoes had TE values greater than the value of T 2 . then the uncertainty of that estimate increased. Therefore, in tissues such as fat, which have a low T 2 value, the ESP needs to be decreased to maintain precision. Surface maps demonstrate the effects ESP and T 2 on a single-peak signal at SNR20 have on the uncertainties for chemical shift (a), T 2 (b), and amplitude (c). Areas below the black line represent where the ETL TE max x0003e T 2 . This causes an increase . In addition to precision, we also used simulation to test the accuracy of the SM algorithm. Table x200B Table3 3 summarizes the measured accuracy of the estimates provided by the SM algorithm in a simulated signal containing water at SNR20. These estimates are presented as the root-mean squared error (RMSE). The algorithm maintains high accuracy for the chemical shifts (x0003c0.01 ppm) and amplitudes (x0003c1.0) for an ETL of 4x0201316. This was consistent down to SNR5. T 2 values also maintained high accuracy but increased to x022651 (0.6 ms) for ETLx022645 at SNR20. For each parameter, the accuracy decreased with decreasing ETL and SNR, as expected. Accuracies in the two-peak signals for the fat-water simulation are summarized in Table x200B Table4. 4. The RMSE values were higher for the water parameters in the fat-water signal than those for the parameters of water in the water-only signal. However, accuracy was high for both chemical shift and amplitude, x022640.01 ppm and x022641, respectfully, for ETLs of 4x0201316. At ETLx022646, the RMSE of T 2 was x022656 for the longer T 2 peak (water). As expected, T 2 measurements required a larger ETL to lower the bias when the ESP was fixed. Accuracies (root-mean squared error) determined through simulation over 20 000 independent trials in a water signal at a SNR of 20. High accuracy is achieved for the chemical shifts and amplitudes from four to sixteen echoes. T 2 values also has high . Accuracies (root-mean squared error) determined through simulation over 20 000 independent trials in a water/fat signal at a water SNR of 20. The accuracy of chemical shift is within 0.01 ppm and that of amplitude is within 1 RMSE for ETLs of . The sensitivity of second peak detection in noise was also investigated during the simulations. Using fat as a model for the second peak, it was observed that the sensitivity of locating the secondary peak depended on the relative SNR between the peaks as well as the individual SNR of each peak. In a model with a simulated water signal and SNRs of 10x0201350, the simulated fat peak was consistently detectable down to a SNR of 2.64x000b10.48 for fat/water amplitude ratios of x022650.05. Phantom imaging In the water-agar phantom (SNR88.6), the mean T 2 value was 34.8x000b10.2 ms in a ROI using the MFGRE acquisition with the SM algorithm and 34.6x000b10.2 ms using a simple SPGR acquisition in which each echo was acquired separately. The lack of statistical difference between the two techniques ( p 0.093) indicated that the two methods of acquisition were equivalent for this measurement. Noise estimates in the phantom were 0.00105x000b10.0004 ppm, 0.356x000b10.149 ms, and 0.28x000b10.16 for the chemical shift, T 2 . and amplitude, respectively. Each noise measurement encompassed the calculated CRLBs (0.0010 ppm for chemical shift, 0.419 ms for T 2 . and 0.16 for amplitude) at the 95 confidence level. The mean T 2 values in the fat-water phantom were 25.0x000b10.2 and 12.7x000b11.1 ms for water and fat, respectively. The water T 2 measured from a standard fat-suppressed SPGR acquisition was 24.6x000b10.5 ms, which, despite the different acquisition techniques, did not statistically differ with the T 2 for water from the MFGRE acquisition ( p 0.124). Table x200B Table5 5 shows the tabulated uncertainties in the chemical shift, T 2 . and amplitude estimates for water and fat in the fat-water phantom. Fat had a higher uncertainty than water in all three parameters. Chemical shift, T 2 and amplitude uncertainties in a fat-water phantom. The SNRs for water and fat were 34.5 and 25.4, respectively. Using these values, the generated CRLBs for each parameter are calculated within the 95 confidence levels. The real and imaginary components of the time-domain signal in this single voxel in the fat-water phantom were compared to those in a synthesized signal with parameters calculated by the SM algorithm as shown in Fig. x200B Fig.4a. 4a. A difference of 1.2 was seen between the real component of the acquisition and SM algorithm and a difference of 2.0 was seen in the imaginary components. Figure x200B Figure4b 4b shows the plotted results of the SM algorithm versus an unfiltered FFT (zero-padded to 1024 points) for a spectrum taken from one 1.6x000d71.6x000d75 mm 3 voxel in the fat-water phantom. Note that the fat peak is aliased because ESP3.3 ms. Aliasing of fat typically occurs at ESPx022652.2 ms at 1.5 T. Despite the aliasing, the peak location was still recovered accurately. Across the entirety of the phantom (3704 voxels), the water chemical shift had a standard deviation of 0.237 ppm and the fat had a standard deviation of 0.234 ppm, indicating that these deviations may be due in part to magnetic field changes across the sample. The mean difference between the fat and water chemical shift across the phantom was 3.4853x000b10.0301 ppm. This was an 87 reduction in the standard deviation and illustrated the power of the technique when fat is used as an internal reference for susceptibility correction in applications such as temperature imaging. The real and imaginary signals and fits of an MFGRE acquisition of the fat-water phantom with ETL16 (a). A difference of 1.2 was seen between the real component of the signal and those calculated with the SM algorithm and a difference of 2.0 was seen . Imaging of ethanol injection into ex vivo liver tissue The spectral parameters of the injected ethanol in bovine liver ex vivo were measured using continuous MFGRE monitoring (acquisition time4.5 s/image). Figure x200B Figure5 5 contains the pre - and post - T 1 - W images obtained with a fast spin echo (FSE) sequence in addition to T 1 - W amplitude and chemical shift images made from measurements taken during real-time monitoring of the percutaneous injection. Figure x200B Figure5a 5a shows the T 1 - W FSE image used to localize the needle. Figure x200B Figure5b 5b displays the water amplitude image 60 s into the ethanol injection, while Fig. x200B Fig.5c 5c illustrates a false color map of the amplitude of the ethanol peak overlaid on a T 1 - W amplitude image of water at the same time point. The region where the ethanol signal was located by the SM algorithm corresponds well with intratreatment, T 2 - corrected, T 1 - W images calculated using the measurements from the SM algorithm Fig. x200B Fig.5b 5b and the post-treatment T 1 - W FSE image Fig. x200B Fig.5d. 5d . Figure x200B Figure5e 5e illustrates the spectrum provided by our algorithm for an averaged signal over an ROI before and after the ethanol was percutaneously injected into the ex vivo liver sample. The methyl (CH 3 ) peak from the ethanol is located 3.72 ppm away from water. Note the similar aliasing as seen with the fat-water phantom. Figure x200B Figure6 6 illustrates the observed changes in the chemical shift (a), T 2 (b), and amplitude (c) of the untreated liver, treated liver, and the methyl peak of ethanol over time. The frequency difference between the water and methyl group had an uncertainty of 0.021 ppm. The chemical shifts in all three ROIs moved in the same direction after the injection, indicating changes from field drifts or susceptibility. The T 2 value for ethanol steadily decreased Fig. x200B Fig.6b, 6b , whereas the T 2 of the liver tissue decreased to a value of approximately 24 ms, which is 27 lower than the value before the injection. Figure x200B Figure6c 6c shows that a 39 reduction in the T 1 - weighted amplitude for water recovered by 16 as the ethanol diffused from the region. T 1 - weighted FSE acquisition used to localizing the injection needle (a). Image of the amplitude of water provided by the SM algorithm demonstrates a decrease in signal where the ethanol was injected (b). Map of the amplitude of the ethanol peak overlaid . The evolution of the chemical shift (a), T 2 (b), and amplitude (c) for water (triangles) and ethanolx02019s methyl peak (squares) over the entire treatment time. A susceptibility shift can be seen in the water chemical shift in (a). The T 2 for water . Noise estimates in the liver tissue were 0.0022x000b10.0005 ppm, 0.861x000b10.272 ms, and 1.46x000b10.24 for the chemical shift, T 2 and amplitude, respectively. The chemical shift and T 2 noise measurements, which encompassed the calculated CRLBs at the 95 confidence level, were calculated as 0.0023 ppm for the chemical shift and 0.902 ms for T 2 . At the measured SNR (40.0) and T 2 (30.7 ms), the CRLB of the amplitude measurement was 0.34. The mean amplitude noise estimates did not match the CRLB at the 95 confidence level. MR thermometry in canine brain in vivo The MFGRE (ETL16) with processing of the SM algorithm was applied to monitor a laser-induced thermal therapy in canine brain in vivo. Figure x200B Figure7a 7a shows the water proton field map, which is the source of the temperature images, and Fig. x200B Fig.7b 7b displays the temperature map. The SM algorithm calculated the noise in the temperature map as 0.34x000b10.09 x000b0C in an unheated region contralateral to the therapy site. This is in excellent agreement with the calculated CRLB (SNR39.5, T 2 42.0 ms ) of 0.35 x000b0C. Using the complex phase difference (CPD) of a single echo from the same acquisition at TE T 2 (which is the optimal value for CPD), the uncertainty approximately doubled to 0.69x000b10.18 x000b0C. Unlike the CPD technique, the sensitivity of the CSI technique is inherently driven by the SNR of the acquisition and is independent of the echo time used (apart from the impact on SNR). Figure x200B Figure7d 7d is the T 1 - W image, corrected for T 2 decay from our knowledge of the T 2 . which was also calculated at each time point. During treatment delivery, an anomalous artifact arose in the temperature images that correlated with a hyperintense area seen near the laser source on the T 1 - W images. A suspected treatment-induced hemorrhage was confirmed by a post-treatment T 1 - W SPGR acquisition Fig. x200B Fig.7e. 7e . An image of the calculated T 2 for water Fig. x200B Fig.7c 7c shows a clearly hypointense lesion. The water PRF map of a canine brain used to create the temperature maps had a temperature sensitivity coefficient of x022120.0098 ppm/x000b0C (a). The temperature map for the thermal therapy in the canine brain (b). The noise calculated . DISCUSSION The observed robust performance of the SM algorithm in accuracy, uncertainty, and secondary peak detection across a range of SNR values for a very low number of echoes and was corroborated by phantom, ex vivo . and in vivo imaging results. The use of minimal samples represented as a rational polynomial in the z - domain, which has been shown to converge exponentially as the number of echoes increases, 16 is important because this allows the acquisition either to run faster with less computational overhead or to facilitate the acquisition of multiple slices within the same TR period. In addition to choosing a low number of echoes, the choice of other acquisition parameters, such as the ESP, can affect the accuracy and precision of the measurements. We have shown that choosing ESPs that extend TE max past the T 2 of the tissue increases the uncertainty in the measurements (Fig. x200B (Fig.3). 3 ). This was demonstrated in our estimates for the spectral parameters of fat in two-peak systems where T 2 x0003c TE max. which displayed higher uncertainties compared with tissues that had higher T 2 values. In this work, we limited ourselves to acquisition parameters conducive to imaging x0226416 echoes every 5 s with a fixed ESP (3.3 ms at 1.5 T) such that the lipid peaks would not alias into the water. Thus, we did not investigate the use of a variable ESP, at low ETLs, which could possibly improve the estimates in tissues with low T 2 tissues. Theoretical calculation of the CRLB demonstrates that the uncertainty is inversely proportional to the SNR, a relationship corroborated by simulation measurements. Therefore, MR acquisition parameters, such as the flip angle, should be chosen to increase the SNR of the peak of interest. For instance, in the one-peak system, the flip angle should provide maximum SNR at the Ernst angle. For two-peak systems in which information from both peaks is desired, acquisition parameters should be tailored to help increase the SNR of the secondary peak, which was assumed here to be the smaller of the two. If TR is fixed for optimal timing, the flip angle could be used to provide optimal modulation of the secondary peak signal. The measurements we made from the MFGRE acquisition of the fat-water phantom reinforced simulation results and further demonstrated that the algorithm can measure the T 2 values from each chemical species in the two-peak system with a single acquisition. A large error (23.0) observed in the tissue-based T 2 measurement for water (60 ms) in the presence of a 25 fat signal ( T 2 30 ms ) using exponential fitting of the magnitude signal was avoided when the SM algorithm was used to calculate the T 2 for each chemical species separately. Given adequate SNR, the acquisition used in this work could provide T 2 maps of eight to ten slices in a single breathhold (x0226420 s) using ETL8, while also providing inherent fat suppression. A recent study in liver constrained the solution of the estimated tissue-based T 2 for water by assuming equivalent T 2 values for water and fat, owing to a heavy iron overload. 11 The authors concluded that this assumption may not be reasonable. The technique investigated here could potentially be used to separate these T 2 values directly, without any assumptions on the chemical shift or T 2 equivalency, thereby allowing identification of separate T 2 values for water and fat. Another potential application is quantitating the distribution of superparamagnetic iron oxides (SPIOs). 33 These particles have been suggested for use in thermal therapy, and such therapies could potentially benefit from the temperature imaging capabilities of our technique as well. 34 We demonstrated the potential for monitoring chemical ablations, such as an ethanol injection, with an ex vivo experiment. Conventional methods of guidance rely on signal changes provided by ultrasound 35 or CT, 36 while some investigations have used MR imaging. 37. 38. 39. 40 Our results demonstrated the ability of this method to accurately detect the chemical shift of the methyl group in ethanol dynamically and to separate it from the water component at 1.5 T using the two-peak model. The methylene protons, which are J - coupled with the methyl protons, 39 were also detectable at 1.5 T by using a higher-order (three-peak) model. The reason the algorithm works so well in this case is that if the model does not encompass all peaks, the most dominant peaks are found first. In the cases where there is clear distinction between peaks, there is no significant loss of accuracy or precision in peak parameter estimation (i. e. a single peak model will return an excellent estimation of the dominant peak from the two-peak system). Characterization of the dynamics of these lower SNR peaks using higher-order models is currently under investigation. Dynamic T 1 - W images and T 2 images provided additional information that correlated with the agent location as observed on postinjection T 1 - weighted images. The changes in the T 2 and amplitude of water in treated liver could possibly be due to cellular dehydration effects. Sironi et al. 40 suggested this as a possible effect when their study reported similar signal changes in hepatocellular carcinoma lesions treated with ethanol on T 2 - W images from a spin-echo acquisition. However, correlations between the signal changes and the underlying physiological mechanisms are not clear and will be a focus of future work. It is also important to note that if a reference standard of known concentration is kept in the image, the amplitude of each chemical shift could possibly provide a quantitative means to monitor the progress of therapy and better relate therapy to outcome. In addition to ablative chemicals such as ethanol or acetic acid, drugs suspended in lipid emulsifications can potentially be monitored as well. As we previously demonstrated, 17 the ability to measure multiple chemical shifts rapidly makes this technique extremely attractive for use in MR thermometry. Our current in vivo data in the canine brain highlight some of the potential of multiparametric monitoring for thermal therapy procedures because both physiologic (temperature) and anatomic ( T 1 - W . T 2 maps) information are available. In this case, a treatment-induced hemorrhage was monitored during treatment. In CPD techniques, the optimal echo time is given by the T 2 of the signal. 41 Magnitude images are therefore contaminated by the T 2 - weighting of the signal ( exp ( x02212 TE x02215 T 2 ) ) which can obscure T 1 changes in the image. This would make it difficult to observe the hemorrhage and, more importantly, determine when it occurred during treatment. Additionally, the ability to separate and measure the chemical shift in temperature-insensitive fat quickly and accurately is useful for providing inherent fat suppression and for internal referencing in thermometry. Currently, it takes too much time to acquire the needed images at high resolution. 42 Our technique provides these benefits without sacrificing the spatiotemporal resolution of current CPD techniques. 17 However, our simulation results show that a higher SNR is needed when taking advantage of this property to uncertainty in the temperature measurement on par with the unreferenced technique. This attempt to maintain high SNR is one of the reasons we used a higher ESP (by means of lower receiver bandwidth) in our acquisition sequence. With this technique, simulations predict that uncertainties in temperature of x0003c1 x000b0C can be achieved with SNRx0003e34 using fat as an internal reference (assuming that water and fat component T 2 of 60 and 30 ms, respectfully, and ETL16). A similar uncertainty is achievable using the signal peak for water only with SNRx0226510. Our simulation results also demonstrate that for the same imaging time and parameters, this technique is more sensitive than current CPD techniques as a function of SNR because it maintains better accuracy and uncertainty across a variety of T 2 values and improves sensitivity of temperature imaging (Fig. x200B (Fig.8). 8 ). However, there is always a trade-off. Within the same TR, we could have collected up to three interleaved slices and expanded our coverage. We demonstrated here that this technique has the ability to use fewer echoes (x022654) and still provide reasonably accurate and precise estimates of the chemical shift, which allows time to collect multiple slices. The uncertainty in temperature versus imaging SNR for a signal containing 25 fat. The simulation ( n 20 000 samples) for evaluating the uncertainty in the signal for water using the SM algorithm (circles) is compared with CRLB results (solid line). Nota . CONCLUSION We investigated the performance of the SM algorithm using a limited number of echoes (x0226416) returned from a fast CSI sequence to obtain precise estimates of spectral parameters in one - and two-peak systems in the presence of noise. Using this technique in simulation, we showed that the calculated values for the chemical shift and amplitude are highly accurate and precise, reaching their respective CRLBs over a wide range of SNR values and ETLs. We also showed that the T 2 measurements are accurate and precise at higher SNR and ETL values. Simulation results were corroborated by phantom, ex vivo . and in vivo measurements. All these findings make this technique attractive for monitoring MR-guided interventions, which require rapid, accurate, and precise knowledge of major chemical species such as water and fat. ACKNOWLEDGMENTS The authors would like to thank Kimberly Herrick from Scientific Publications at the University of Texas M. D. Anderson Cancer Center for her help in preparing this article. This work was supported in part by NIH training grant 5T32CA119930. References Mansfield P. x0201c Spatial mapping of the chemical shift in NMR, x0201d Magn. Reson. Med. 1. 370x02013386 (1984). PubMed Oshio K. Kyriakos W. and Mulkern R. V. x0201c Line scan echo planar spectroscopic imaging, x0201d Magn. Reson. Med. 44. 521x02013524 (2000).10.1002/1522-2594(200010)44:4x0003c521::AID-MRM4x0003e3.0.CO2- PubMed Cross Ref Mayer D. Kim D. 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